История науки о Сопротивлении материалов. Теория арок в XVIII веке

Теория арок в XVIII веке

Искусство возведения арок восходит к глубокой древности. Римляне широко пользовались полуциркульными арками при сооружении своих мостов и акведуков, причем они оказались в своей работе столь искусными, что некоторые их сооружения сохранились невредимыми и но сей день, что позволяет нам изучать на них пропорции размеров и строительные приемы, которыми пользовались римляне. По-видимому, никакой теории для определения безопасных размеров арок у римских строителей не было и они руководствовались лишь эмпирическими правилами. В средние века строительство дорог и мостов почти прекратилось и методы римлян были забыты.

Эпоха Возрождения, принесшая с собой подъем экономической жизни в Европе, поставила строителей перед необходимостью заново изучать искусство возведения арок. Сначала соотношения в размерах этих сооружений опять стали определять чисто эмпирически, но к концу XVII и в начале XVIII века французскими инженерами были предприняты некоторые попытки построить теорию арок. По развитию дорожной сети Франция стояла тогда впереди

других стран, и здесь арочные мосты часто устраивались на шоссейных дорогах.

Первым применением статики к расчету арок мы обязаны Лаиру (Lahire, 1640—1718), члену Французской Академии. Курс своего математического образования Лаир прошел под руководством Дезарга; от этого же великого математика он унаследовал и свое увлечение геометрией. В книге Лаира «Трактат по механике» ("Traite de Mechanique", 1695) мы впервые встречаемся с использованием веревочного многоугольника для расчета арки. Лаир рассматривает полуциркульную арку (рис. 39) и исходит из предположения, что поверхности соприкасания клиньев, образующих арку, идеально гладкие, так что через них передаются одни лишь нормальные давления. Исходя из этого допущения, он решает следующую задачу: каковы должны быть веса P1, Р2, Р3,... клиньев арки, для того чтобы была обеспечена устойчивость сооружения? Лаир решает эту задачу графическим методом, как показано на рис. 39.

Рис. 39.

Проводя горизонтальную касательную MN к наружному очертанию арки и продолжая радиусы, подразделяющие арку на клинья, до точек пересечения М, К, L, N с касательной, он находит, что условие устойчивости выполняется, если BecaP1, Р2 ,... находятся в тех же отношениях, что и отрезки МК, KL, LN. Он находит также, что давления, действующие между клиньями арки, представляются продолженными радиусами СК, CL, CN. Пользуясь терминологией нашего времени, мы должны были бы сказать, что фигура ABCDE представляет собой веревочный многоугольник, построенный для системы вертикальных сил Р1, Р2, Р3,..., а фигура MKLNC представляет собой многоугольник сил, повернутый на

90° относительно полюса С.

Продолжая этот процесс деления, Лаир находит, что вес последнего клина, опирающегося на горизонтальную плоскость СЕ, должен быть бесконечно большим, поскольку радиус СЕ

параллелен касательной MN.

Это привело Лаира к заключению, что при условии идеальной гладкости поверхностей соприкасания клиньев устойчивость полуциркульной арки не осуществима. Он отмечает, что в сооружениях арочного типа цемент препятствует скольжению клиньев и обеспечивает, таким образом, устойчивость. Поэтому найденное соотношение для Р1 : Р2 : Р3... можно и не выполнять с полной строгостью.

Впоследствии Лаир возвращается к проблеме арки и применяет свою теорию к определению необходимых размеров колонн, поддерживающих полуциркульную арку (рис. 40).

Предполагая, что излом происходит в наиболее неблагоприятно расположенных местах арки, как, например, в сечениях MN и M1N1, и опять пренебрегая трением, он вычисляет силы F, представляющие собой действие верхней части арки на нижние ее части. Затем он вычисляет тот вес, который должны иметь колонны, с тем чтобы, противодействуя силамF, они не имели вращения вокруг точек А и В.

Этот метод расчета был впервые применен в практических целях Белидором, изложившим теорию Лаира в своей «Инженерной науке» и указавшим, что угол a (на рис. 40) должен быть принят равным 45°. Впоследствии методом Лаира воспользовались Перонне и Шези при составлении таблицы для расчета толщины арок.

Кулоном был сделан дальнейший шаг в развитии теории арок. В его время из опытов на моделях было установлено, что типичными формами разрушения арок являются случаи, показанные на рис. 41

Из этой схемы можно заключить, что при исследовании устойчивости арки следует учитывать не только возможность относительного скольжения клиньев, но также и возможность их относительных поворотов. В своем мемуаре 1773 г. Кулон рассматривает оба эти типа разрушения. Пусть ABDE (рис. 42) представляет собой половину симметричной арки, симметрично нагруженной. Обозначив горизонтальный распор в поперечном сечении АВ через Н и вес участка АВтп арки через Q, он находит, что нормальная и касательная составляющие результирующей силы действующей на плоскость тп, равны

и

где a —угол, образуемый этой плоскостью с вертикалью АС. Наименьшее значение Н, небходимое для того, чтобы воспрепятствовать участку арки АВтп скользить по плоскости тп,определяется уравнением:

 где (m—коэффициент трения, a -tA—полное сопротивление арки скалыванию по плоскости тп. Из этого уравнения он находит:

Из всех возможных значений угла a необходимо теперь отобрать то, которое обращает выражение (Ь) в максимум. Положим, что Н—соответствующее значение распора. Очевидно, это будет наименьшим значением силы, необходимой для того, чтобы воспрепятствовать верхней части арки соскользнуть вниз по плоскости тп. Точно таким же путем мы сможем найти и значение Н' распора, при котором начнется скольжение части АВтп арки вверх. Это значение равно

 Теперь Кулон отбирает то значение a, которое обращает выражение (с) в минимум. Положим, что Н' будет соответствующим значением. Ясно, что для исключения возможности скольжения фактический распор должен быть больше Н и меньше Н'.

Обращаясь теперь к возможности вращения вокруг точки т, как это показано примерно на рис. 41, и пользуясь обозначением рис. 42, он находит предельное значение Н1 распора

Подобным же образом для вращения относительно точки п получается:

 Наибольшее значение выражения (d) и наименьшее—выражения (е) дают пределы, между которыми должно заключаться значение фактического распора, если требуется, чтобы возможность вращения была исключена. Таков метод подхода к задаче, примененный Кулоном. На основе изучения случаев, встречающихся в практике, Кулон приходит к выводу, что, как правило, инженеру, проектирующему арку, приходится считаться лишь с двумя пределами (d) и (е). Им отмечается также, что точку приложения распора следует сместить вА (рис. 42) для того, чтобы сделать Н1 в выражении (d) малым, насколько это возможно.

Мы видим, что Кулон не дает определенных правил для проектирования арок, но лишь устанавливает пределы для значений распора, обеспечивающих устойчивость арки. По этой причине важность трудов Кулона не нашла должной оценки среди современных ему инженеров и лишь впоследствии, в XIX веке, когда для нахождения пределов (d) и (е) были предложены графические методы, его идеи стали широко применяться строителями арок.

К концу XVIII века большие экспериментальные работы были выполнены Готэ, Буатаром и Ронделе. Все эти эксперименты указывали, что разрешение арок происходит по схеме рис. 41. Они подтвердили, таким образом, гипотезу Кулона, положенную им в основу своей теории.

Пройти обучение и повышение квалификации для инженера-строитель по предметам сопротивление материалов и строительной механике, включая раздел теории арок можно на нашем курсе онлайн обучения. Подробнее на сайте http://stroymex.online

Тимошенко С.П. ИСТОРИЯ НАУКИ О СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ С КРАТКИМИ СВЕДЕНИЯМИ ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ

Литература:

1) G a u t h е у, Traite de la construction des ponls, т. 1, 1809.

2) Compt. Rend., т. 35, стр. 493, 1852.

3) Histoirede l'Academie des sciences, Paris, 1712.

4) L e s a g e M., Recueil des memoires extraits de la bibliotheque des ponts et chaussees, Paris, 1810.

5) F г ё z i е г, Traite de la coupe des pierres, т. 3, Strassbourg, 1739.

6) L e s a g e , Recueil de divers memoires..., т. 2, стр. 171, Paris, 1808.

7) G a u t h e у, Dissertation sur les degradations du Pantheon Franfais, Paris, 1800.

8) В о i s t а г d, Recueil d'experiences et observations, Paris, 1800.

9) R о n d e l e t, Art de batir, т. З, стр. 236.